卷三十三·志第九·历三

◎历三

▲大统历法一下

日月五星平定三差

太阳盈缩平立定三差之原。

冬至前后盈初缩末限，八十八日九十一刻，就整。离为六段，每段各得一十四日八十二刻。各段实测日躔度数，与平行相较，以为积差。

积日积差

第一段一十四日八二七千零五十八分零二五

第二段二十九日六四一万二千九百七十六三九二

第三段四十四日四六一万七千六百九十三七四六二

第四段五十九日二八二万一千一百四十八七三二八

第五段七十四日一零二万三千二百七十九九九七

第六段八十八日九二二万四千零二十六一八四

各置其段积差，以其段积日除之，为各段日平差。置各段日平差，与后段日平差相减，为一差。置一差，与后段一差相减，为二差。

日平差一差二差

第一段四百七十六分二五三十八分四五一分三八

第二段四百三十七分八零三十九分八三一分三八

第三段三百九十七分九七四十一分二一一分三八

第四段三百五十六分七六四十一分五九一分三八

第五段三百一十四分一七四十三分九七

第六段二百七十零分二零

置第一段日平差，四百七十六分二十五秒，为凡平积。以第二段二差一分三十八秒，去减第一段一差十八分四十五秒，余三十七分零七秒，不凡平积差。另置第一段二差一分三十八秒，折半得六十九秒，为凡立积差。以凡平积差三十七分零七秒，加入凡平积四百七十六分二十五秒，共得五百一十三分三十二秒，为定差。

以凡立积差六十九秒，去减凡平积差三十七分零七秒，余三十六分三十八秒为实，以段日一十四日八十二刻为法除之，得二分四十六秒为平差。置凡立积差六十九秒为实，以段日为法除二次，得三十一微，为立差。

夏至前后缩初盈末限，九十三日七十一刻，离为六段，每段各得一十五日六十二刻。各段实测日躔度数，与平行相较，以为积差。

积日积差

第一段一十五日六二七千零五十八分九九零四

第二段三十一日二四一万二千九百七十八六五八

第三段四十六日八六一万七千六百九十六六七九

第四段六十二日四八二万万一千一百五十零七二九六

第五段七十八日一零二万三千二百七十八四八六

第六段九十三日七二二万四千零百一十七六二四四

推日平差、一差、二差术，与盈初缩末同。

日平差一差二差

第一段四百五十一分九二三十六分四七一分三三

第二段四百一十五分四五三十七分八零一分三三

第三段三百七十七分六五三十九分一二一分三三

第四段三百三十八分五二四十零分四六一分三三

第五段二百九十八分零六四十一分七九

第六段二百五十六分二七

置第一段日平差，四百五十一分九十二秒，为凡平积。以第一段二差一分三十三秒，去减第一段一差三十六分四十七秒，余三十一分一十四秒，为凡平积差。另置第一段二差一分三十三秒折半，得六十六秒五十微，为凡立积差。以凡平积差三十五分一十四秒，加入凡平积四百五十一分九十二秒，共四百八十七分零六秒，为定差。以凡‘立积差六十六秒五十微，去减凡平差三十五分一十四秒，余三十四分四十七秒五十微为实，以段日一十五日六二为法除之，得二分二十一秒，为平差。置凡立积差六十六秒五十微为实，以段日为法，除二次，得二十七微，为立差。

凡求盈缩，以入历初末日乘立差，得数以加平差，再以初末日乘之，得数以减定差，余数以初末日乘之，为盈缩积。

凡盈历以八十日九零九二二五为限，缩历以九十三日七一二零二五为限。在其限已下为初，以上转减半岁周馀不末。盈初是人冬至后顺推，缩末是从冬至前逆溯，其距冬至同，故其盈积同。缩初是从夏至后顺推，盈末是从夏至前逆溯，其距夏至同，故其缩积同。

▲盈缩招差图说

盈缩招生，本为一象限之法。今止作九限者，举此为例也。其空格九行定差本数，为实也。其斜绵以上平差立差之数，为法也。斜绵以下空格之定差，乃余实也。假如定差为一万，平差为一百，立差为单一。今求九限法，以九限乘定差得九万为实。另置平差，以九限乘二次，得八千一百。置立差，以九限乘三次，得七百二十九。并两数得八百二十九为法。以法减实，余八万一千一百七十一，为九限积。又法，以九限乘平差行九百，又以九限乘立差二次得八十一，并两数得九进八十一为法，定差一万为实，以法减实，余矣千零一十九，即九限末位所书之定差也。于是瑞以九限乘余实，得八万一千一百七十一，为九限积，与前所不所得不同。盖前法是先乘后减，又法是先减后乘，其理一也。

按《授时历》于七政盈缩，并以垛积招差立算，其污七巧合天行，与西人用小轮推步之法，殊途同归。然世所传《九章》诸书，不载其术，《历草》载其术，而不言其故。宣城梅文鼎为之图解，于平差、立差之理，垛积之法，皆有以发明其所以然。有专书行于世，不能备录，谨录《招生图说》，以明立法之大意云。

盈初缩末置立差三十一微，以六因之，得一秒八十六微，为加分立差。置平差二分四十六秒，倍之，得四分九十二秒，加入加分立差，得四分九十二秒八十六微，为平立合差。

置定差五百一十三分三十二秒，内减平差二分四十六秒，再减立差三十一微，余五百一十零分八十五秒六十九微，为加分。

缩初盈末置立差二十七微，以六因之，得一秒六十二微，为加分立差。置平差二分二十一秒，倍之，得四分四十二秒，加入加分立差，得四分四十三秒六十二微，为平立合差。

置定差四百八十七分零六秒，内减平差二分二十一秒，再减立差二十七微，余四百八十四分八十四秒七十三微，为加分。

已上所推，皆初日之数。其推次日，皆以加分立差，累加平立合差，为次日平立合差。以平立合差减其日加分，为次日加分，盈缩并同。其加分累积之，即盈缩积，其数并见立成。

▲太阴迟疾平立三差之原

太阴转周二十七日五十五刻四六。测分四象，象各七段，四象二十八段，每段十二限，每象八十四限，凡三百三十六限，而四象一周。以四象为法，除转周日，得每象六日八八八六五，分为七段，每段下实测月行迟疾之数，与平行相较，以求积差。

积限积差

第一段一十二一度二十八分七一二

第二段二十四二度四十五分九六一六

第三段三十六三度四十八分三七九二

第四段四十八四度三十二分五九五二

第五段六十四度九十五分二四

第六段七十二五度三十二分九四四

第七段八十四五度四十二分三三七六

各置其段积差，以其段积限为法除之，为各段限平差。置各段限平差，与后段相减为一差。置一差，与后段一差相减为二差。

限平差一差二差

第一段一十零分七二六零四十七秒七六九秒三六

第二段一十零分二四八四五十七秒一二九秒本六

第三段九分六七七二六十六秒四八九秒三六

第四段九分零一二四七十五秒八四九秒三六

第五段八分二五四零八十五秒二零九秒三六

第六段七分四零二零九十四秒五六

第七段六分四五六四

置第一段限平差一十零分七二六为凡平积。置第一段一差四十七秒七六，以第一段二差九秒三六减之，余三十八秒四十微，为凡平积差。另置第一段二差九秒三十六微折半，得四秒六十八微，为凡立积差。以凡平积差三十八秒四十微，加凡平积一十零分七二六，得一十一分一十一秒，为定差。置凡平积差三十八秒四十微，以凡立积差四秒六十八微减之，余三十三秒七十二微为实，以十二限为法除之，得二秒八十一微，为平差。置凡立积差四秒六十八微为实，十二限为法，除二次，得三微二十五纤，为立差。

凡求迟疾，皆以入历日乘十二限二十分，以在八十四限已下为初，已上转减一百六十八限余为末。各以初末限乘立差，得数以加平差，再以初末限乘之，得数以减定差，余以初末限乘之，为迟疾积。其初限是从最迟最疾处顺推至后，末限是从最迟最疾处逆溯至前，其距其距最迟疾处同，故其积度同。

布立成法置立差三微二十五纤，以六因之，得一十九微五十纤，为损益立差。置平差二秒八十一微，倍之，得五秒六十二微，再加损益立差一十九微五十纤，共得五秒八十一微，为初限平立合差。自此以损益立差，累加之，即每限平立合差。至八十限下，积至二十一秒四一五，为平立合差之极。八十一限下差一秒七八零九，八十二限下一秒七八零八，至八十三限下，平立合差，与益分中分，为益分之终。八十四限下差，亦与损分中分，为损分之始。至八十六限下差，亦二十一秒四一五，自此以损益立差累减之，即每限平立合差，至末限与初限同。置定差一十一分一十一秒，内减平差二秒八十一微，再减立差三微二十五纤，余一十一分零八秒一十五微七十五纤为加分定差，即初限损益分。置损益分，以其限平立合差益减损加之。即为次限损益分。以益分积之，损分减之，便为其下迟疾度。以八百二十分为一限日率，累加八百二十分为每限日率。

五星平立定三差之原凡五星各以实测，分其行度为八段，以求积差，略如日月法。

木星

积日积差

第一段一十一日五十刻一度二一五二九七一一二

第二段二十三日二度三四零五二一四

第三段三十四日五十刻三度三五四一三七二六五

第四段四十六日四度二三四六零九一二

第五段五十七日五十刻四度九六零四零一三七五

第六段六十九日五度五零九九七八四四

第七段八十零日五十刻五度八六一八零四七二五

第八段九十二日五度九九四三四四六四

凡平差凡平较凡立较

第一段一十分五六七八零一三十九秒一六二一六秒二四二二

第二段一十分一七六一八四十五秒四零四三六秒二四二二

第三段九分七二二一三七五十一秒六四六五六秒二四二二

第四段九分二零五六七二五十七秒八八八七六秒二四二二

第五段八分六二六七八五六十四秒一三零九六秒二四二二

第六段七分九八五四七六七十零秒三七二一六秒二四二二

第七段七分二八一七四五七十六秒六一五三

第八段六分五一五五九二

各置其段所测积差度为实，以段日为法除之，为凡平差。各以凡平差与次段凡平差相较，为凡平较。又以凡平较与次段凡平较相较，为凡立较。置第一段凡平较三十九秒一六二一，减其下凡立较六秒二四二二，余三十二秒九一九九，为初段平立较。加初段凡平差一十分五六七八零一，共得一十零分八十九秒七十零微，为定差。秒置万位。置初段平立较差三十二秒九一九九，内减凡立较之半，三秒一二一一，余二十九秒七九八八，以段日一十一日五十刻除之，得二秒五十九微一十二纤为平差。置凡立差之半，三秒一二一一，以段日为法除二次，得二微三十六纤为立差。

已上为木星平立定三差之原。

火星盈初缩末。

积日

第一段七日六十二刻五十分

第二段一十五日二十五刻

第三段二十二日八十七刻五十分

第四段三十零日五十零刻

第五段三十八日一十二刻五十分

第六段四十五日七十五刻

第七段五十三日三十七刻五十分

第八段六十一日

积差

第一段六度二六八二五一二二八一八五五九三七五

第二段一十一度六零零一七五七四三五九三七五

第三段一十六度零二五九六三七九二五一九五三一二五

第四段一十九度六六九零一三六二一二五

第五段二十二度二七九八九一四七六零七四二一八七五

第六段二十四度一六八二二八六零三二八一二五

第七段二十五度三三一五五六二四九二六零一五六二五

第八段二十五度六一九五一五六六

凡平差

第一段八十二分零六五七三四八四三七五

第二段七十六分零六六七二六一六七五

第三段七十零分零五八八五八一零九三七五

第四段六十四分一八二九六九二五

第五段五十八分四三九零五九六零九三七五

第六段五十二分八二七一二九一八七五

第七段四十七分三四七一七七九八四三七五

第八段四十一分九九九二零六

凡平较

第一段六分一三九八四七二九六八七五

第二段六分零零七八六八零七八一二五

第三段五分八七五八八八八五九三七五

第四段五分七四三九零九六四零六二五

第五段五分六一一九三零四二一八七五

第六段五分四七九九五一二零三一二五

第七段五分三四七九七一九八四三七五

凡立较

第一段一十三秒一九七九二一八七五

第二段一十三秒一九七九二一八七五

第三段一十三秒一九七九二一八七五

第四段一十三秒一九七九二一八七五

第五段一十三秒一九七九二一八七五

第六段一十三秒一九七九二一八七五

凡平较前多后少，应加凡立较。置初段下凡平较六分一三九八四七二九六八七五，加凡立较一十三秒一九七九二一八七五，得六分二七一八二六五一五六二五，为初日下平立较。置初段凡平差八十二分二十零秒六五七三四八四三七五，加初日下平立较六分二七一八二六五一五六二五，得八十八分四十七秒八十四微，为定差。置初日下平立较六分二七一八二六五一五六二五，加凡立较之半，六秒五九八九六零九三七五，得分三三七八一六一二五为实，以段日而一，得八十三秒一十一微八十九纤为平差。置凡立较之半，六秒五九八九六零九三七五，以段日七日六十二刻五十分为法除二次，得一十一微三十五纤为立差。

火星缩初盈末

积日

第一段一十五日二十五刻

第二段三十零日五十刻

第三段四十五日七十五刻

第四段六十一日

第五段七十六日二十五刻

第六段九十一日五十刻

第七段一百零六日七十五刻

第八段一百二十二日

积差

第一段四度五三一二五一八五七九六八七五

第二段九度一零二九六一四五一二五

第三段一十三度五三一六七零九零一七七三七五

第四段一十七度四七八九七九零四

第五段二十零度八四三六六三零六六四零六二五

第六段二十三度四三一三三六二四一二五

第七段二十五度零九二四三五二八三四六八七五

第八段二十五度六一八三七四七二

凡平差

第一段二十九分七一三一二六九三七五

第二段二十九分八四五七七五二五

第三段二十九分五七八三五五零六二五

第四段二十八分六五四零六四

第五段二十七分三三三九五一五六二五

第六段二十五分六一八零一七七五

第七段二十三分五零六二六二五六二五

第八段二十零分九九八六八六

凡平较凡立较

第一段一十三秒二六四八三一二五一十三秒五七六九七七五

第二段二十六秒八四一八零八七五六十五秒五八七二九七五

第三段九十二秒四二九一零六二五三十九秒五八二一三七五

第四段一分三二零一一二四三七五三十九秒五八二一三七五

第五段一分七一五九三三八一二五三十九秒五八二一三七五

第六段二分一一一七五五一八七五三十九秒五八二一三七五

第七段二分五零七五七六二五

取凡立较停者，三十九秒五八二一三七五，以较一段下凡平较一十三秒二六四八三一二五，余二十六秒三一七三零六二五为较较，以加一段下凡平差二十九分七一三一二六九三七五，得二十九分九十七秒六十三微，为定差。置较较二十六秒三一七三零六二五，以段日一十五日二十五刻而一，得一秒七二五七二五。再置凡立较之半一十九秒七九一零六八七五，以段日而一，得一秒二九七七七五。两数并得三秒零二微三十五纤为平差。置凡立较之半一十九秒七九一零六八七五，以段日一十五日二五为法除二次，得八微五十一纤，为立差。

已上为火星平立定三差之原。

▲土星盈历

积日积差

第一段一十一日五十刻一度六八三二四五八二八七五

第二段二十三日三度二三二一六四零一

第三段三十四日五十刻四度六二零九三零零八六二五

第四段四十六日五度八二三七一九六

第五段五十七日五十刻六度八一四七零八六六八七五

第六段六十九日七度五六八零七一一一

第七段八十零日五十刻八度零五七九八四一九一二五

第八段九十二日八度二五八六二二八八

凡平差凡平较凡立较第一段一十四分六三六九二零二五五十八秒四零三三二五七秒四八五三五第二段一十四分零五二八八七六十五秒八八八六七五七秒四八五三五第三段一十三分三九四零零零二五七十三秒三七四零二五七秒四八五三五第四段一十二分六六零二六八十零秒八五九三七五七秒四八五三五第五段一十一分八五一六六六二五八十八秒三四四七二五七秒四八五三五第六段一十一分九六八二一九九十五秒八三零零七五七秒四八五三五第七段一十零分零零九九一八二五一分零三秒三一五四二五第八段八分九七六七六四

置第一段下凡平较，内减其下凡立较，余五十零秒九一七九七五，为平立较。以平立较，加本段凡平差，得一十五分一十四秒六十一微，为定差。置平立较，内减凡立较之半，三秒七四二六七五，余四十七秒一七五三，以段日十一日五十刻而一，得四秒一十零微二十二纤，为平差。置凡立较之半，以段日除二次，得二微八十三纤，为立差。

▲土星缩历

积日积差

第一段一十一日五十刻一度二四一九七四二六八七五

第二段二十三日二度四一三七三五六九

第三段三十四日五十刻三度四八五零七九六八六二五

第四段四十六日四度四二五八零一六八

第五段五十七日五十刻五度二零五六九七零九三七五

第六段六十九日五度七九四五六一三五

第七段八十零日五十刻六度一六二四一一零零四七五

第八段九十二日六度二七八三七八零八

凡平差凡平较凡立较第一段一十分七九九七七六二五三十零秒五二七三二五八秒七五四九五第二段一十分四九四五零三三十九秒二八二二七五八秒七五四九五第三段一十分一零一六八零二五四十八秒零三七二二五八秒七五四九五第四段九分六二一三零八五十六秒七九二一七五八秒七五四九五第五段九分零五三三八六二五六十五秒五四七一二五八秒七五四九五第六段八分三九七九一五七十四秒三零三零七五八秒七五四九五第七段七分六五四八九四二五八十三秒零五七零七五第八段六分八二四三二四

置一段凡平较，内减其下凡立较，余二十一秒七七二三七五，为平立较。以平立较加入本段凡平差，得一十一分零一秒七十五微，为定差。置平立较，内减凡立较之半，四秒三七七四七五，余一十七秒三九四九，以段日一十一日五十刻为法除之，得一秒五十一微二十六纤，为平差。置凡立较之半，以段日为法除二次，得三微三十一纤为立差。

已上为土星平定三差之原。

金星

积日积差

第一段一十一日五十刻空度四零二一三四零九八七五

第二段二十三日空度七九一三九三六六

第三段三十四日五十刻一度一五四九一二零八一二五

第四段四十六日一度七四九八二二七六

第五段五十七日五十刻一度七五三二五九零九三七五

第六段六十九日一度九六二三五四四八

第七段八十零日五十刻二度零九四二四二三一六二五

第八段九十二日二度一三六零五六

凡平差凡平较凡立较第一段三分四九六八一八二五五秒五九七六二五三秒七二九四五第二段三分四四零八四二零零九秒三二七零七五三秒七二九四五第三段三分三四七五七一二五一十三秒零六五五二五三秒七二九四五第四段三分二一七零零六一十六秒七八五九七五三秒七二九四五第五段三分零四九一四六二五二十零秒五一五四二五三秒七二九四五第六段二分八四三九九二二十四秒二四四八七五三秒七二九四五第七段二分六零一五四三二五二十七秒九七四三二五第八段二分三二一八

置一段下凡平较，与其凡立较相减，余一秒八六一七五为平立较，以加凡平差，得三分五十一秒五十五微，为定差。置平立较，与凡立较之半，一秒八六四七二五相减，余三十四纤，以段日一十一日五十刻为法除之，得三纤，为平差。置凡立较之半，以段日为为法除二次，得一微四十一纤，为立差。

已上为金星平立定三差之原。

▲水星

积日积差

第一段一十一日五十刻空度四四零八四七三五三七五

第二段二十三日空度八六三一零一六八

第三段三十四日五十刻一度二五三八九六三七六二五

第四段四十六日一度六零零三六四八四

第五段五十七日五十刻一度八八九六三一零四三七五

第六段六十九日二度一零八八六六六

第七段八十零日五十刻二度二四五二九二一一三七五

第八段九十二日二度二八五六四四三二

凡平差凡平较凡立较

第一段三分八三三四五五二五八秒零八三九二五三秒七二九四五

第二段三分七五二六一六一十一秒八一三三七五三秒七二九四五

第三段三分六三四四八二二五一十五秒五四二八二五三秒七二九四五

第四段三分四七九零五四一十九秒二七二二七五三秒七二九四五

第五段三分二八六三三一二五二十三秒零零一七二五三秒七二九四五

第六段三分零五六三一四二十六秒七三二一七五三秒七二九四五

第七段二分七八九零零二二五三十零秒四六零六二五

第八段二分四八四三九六

术同金星，求得定差三分八十七秒九十微，平差二十一微六十五纤，立差一微四十一纤。

已上为水星平立定三差之原。

在五星，皆以立差为秒，平差为本，定差为总。五星各以段次因秒，木土金水四星并本，惟火星较本，各以积日而积，五星皆较总，又各以积日乘之，得各实测之度分。

五星积日，皆本度率，除周日得三百六十五度二十五分太。各以四分之一为象限，惟火星用象限三之一，减象限为盈初缩末限，加象限为缩初盈末限。其命度为日者，为各取盈缩历乘除之便，其实积日之数，即积度也。

▲里差刻漏

求二至差股及出入差。术曰：置所测北极出地四十度九十五分为半弧背，以前割圆弧矢法，推得出地半弧弦三十九度二十六分，为大三斜中股。置测到二至黄赤道内外度二十三度九十分为半弧背，以前法推得内外半弧弦二十三度七十一分。又为黄赤道大句，又为小三斜弦。置内外半弧弦自之为句幂，半径自之为弦幂，二幂相减，开方得股，以股转减半径，余四度八十一分为二至出入矢，即黄赤道内外矢。夏至日，南至地平七十四度二十六分半为半弧背，求得日下至地半弧弦五十八度四十五分。半径六十零度八十七分半，为大三斜中弦。置大三斜中股三十九度二十六分，以二至内外半弧弦二十三度七十一分乘之为实，以半径六十零度八十七分半为法除之，得一十五度二十九分，为小三斜中股又为小股。置小三斜中股一十五度二十九分，去减日下至地半弧弦五十八度中十一分，余四十三度一十六分，为大股。以出入矢四度八十一分，去减半径六十零度八十七分半，余五十六度零六分半，为大股弦。置大股弦，以小股一十五度二九乘之为实，大股四十三度一六为法除之，得一十九度八十七分为小弦，即为二至出入差半弧弦。置二至出入差半弧弦，依法求到二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒。置二至出入差半弧背一十九度九十六一四秒，置二至出入半弧背一十九度九六一四，以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分除之，得八十四分一十九秒，为度差分。

求黄道每度书夜刻。术曰：置所求每度黄赤道内外半弧弦，以二至出入差半弧背乘之为实，二至黄赤道内外半弧弦为法除之，为每度出入差半弧背。余数倍之，又三因之，得数加一度，为日行百刻度。置每度出入半弧背，以百刻乘之为实，日行百刻为法除之，得数为出入差刻。置二十五刻，以出入差刻视黄道，在赤道内加之，在赤道外减之，得数为半昼刻，倍之为昼刻，以减百刻，为夜刻。

如求冬至后四度昼刻。术曰：置冬至后四十四度黄赤道内外半弧一十七度二十五分六十九秒，以二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒乘之为实，以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分为法除之，得一十四度五十二分八十五秒，为出入半弧背。置半径六十零度八七五，以四十四度黄赤道内外矢二度五十一分八十一秒减之，余五十八度三十五分六十九秒，倍之，得一百一十六度七十一分三十八秒，三因之，加一度，得三百五十一度一十四分一十四秒，为日行百刻度。置出入半弧背一十四度五十二分八十五秒，以百刻乘之为实，以日行百刻度三百五十一度一十四分一十四秒为法除之，得四刻一十三分七十五秒，为出入差刻。置二十五刻，以出入差刻四刻一十三分七十五秒减之，余二十零刻八十六分二十五秒，为半昼刻。倍之得四十一刻七十二分半，为昼刻。以昼刻减百刻，余五十八刻二十七分半，为夜刻。

右《历草》所载昼夜刻分，乃大都即燕京晷漏也。夏昼、冬夜极长，六十一刻八十四分，冬昼、夏夜极短，三十八刻一十六分。明既迁都于燕，不知遵用。惟正统己巳奏准颁历用六十一刻，而群然非之。景泰初仍复用南京晷刻，终明之世未能改正也。